§ 3. Ротапринтное издание лекций Александрова

 

Семинар Данилыча; курс "Дифференциальной геометрии"; курс "Оснований геометрии"; наука сэнусов и другие математические увлечения

 

В начале IV семестра, т.е. в феврале 1950 года, я начал посещать семинары Александра Даниловича Александрова. Сначала - "широкий", из неграмотной публики, которую хотели привлечь к геометрии, а затем отобрать из нее способных и интересующихся, а вскоре и "узкий" или "настоящий" семинар прямых учеников Данилыча. Благодаря этим семинарам я познакомился с уймой народу, в том числе и с теми, кто по отношению к этим семинарам оказался случайным элементом, но в моей жизни стал вехой и куском. Так именно там я познакомился с Леной Ландсберг, отношения с которой нуждались бы в отдельной главе или, как минимум, в параграфе из той главы, написать которую я не умею; см. далее §10. Там я познакомился со Светой Богачевой, влюбленной в Данилыча с 16 лет, со школьного вечера, и в 48 лет ставшей-таки его женою; к семинару как геометрическому институту она отношения не имела, но стремилась бывать всюду, где находился Данилыч, а потом всегда присутствовала на заседаниях. Как ни парадоксально, именно там я ближе сошелся с Тасей Тушкиной, хотя она занималась в одной со мною группе, а ее увлечение геометрией было мимолетным. Как это вдруг бывает - нам всем повелевает случай - сижу я, подавленный мыслями о своем ренегатстве и возвращении в комсомол, не слушаю и не в силах слушать доклада Тушкиной, уткнувшись взором в пустоту угла аудитории и черноту своей души. Тушкина же, оказывается, говорит так сбивчиво, что никто ее не понимает. Данилыч, протерпев минут тридцать-сорок, начинает вопросами к ней и к публике, выводить доклад из тупика. И вдруг я слышу.

— А что это Пименов молчит? Вы тоже не понимаете докладчика? – В растерянности я бормочу невнятицу, из которой следует, что не понимаю ни единого слова, и тут еще неожиданно вмешивается сидящая рядом со мной девица, которой я до того не замечал:

— Да он весь доклад в угол смотрел!

Это была Леночка, до тех пор незнакомая мне. Она-то наблюдательная, точно подметила мое состояние, но так как доклад-то был геометрический, где главную роль играл некий трехгранный угол, то словесно обернулось ее замечание двусмыслицей; на что и следовало раздраженное рычание Данилыча:

— И нужно было смотреть на угол.

Я очнулся, злобно посмотрел на сующуюся не в свое дело девицу, по остаткам формул на доске и бессознательно запавшим фразам докладчика стал лихорадочно соображать, что к чему в путанице Тушкиной, даже какие-то разумно-геометрические слова произнес. А назавтра мы с Тасей стали уже вдвоем разбираться в ее задаче. А назавтра тоже неведомая мне приятельница Лены Галя Филановская остановила меня на лестнице и спросила мое имя. "Фамилию? - переспросил я. - Зачем Вам?" "Нет, фамилию я знаю. Мне нужно имя." Я назвался, и несколько часов спустя Лена подошла ко мне и обратилась по имени.

Но не об этом хочу я сейчас вести рассказ. И даже не об Илье Бокельмане, Юре Борисове-Федорове, Юре (Александровиче) Волкове, Викторе Абрамовиче Залгаллере, Саше Заморзаеве, Юре Решетняке и не о позже появившихся в узком семинаре Женьке Сенькине и Юре Боровском. Роль и значение этого - узкого - семинара и общения с этой группой

 

гениев (к которым следует причислить самого Данилыча и из которой следует вычесть Заморзаева, обоснованно именовавшегося Замерзавцевым) мне делаются все зримее и ощутимее по мере того, как уходят все в более далекое прошлое годы общения. Словно спотыкался о камни, мокнул в студеных ручьях, не видел ничего, кроме нависающих стенок ущелья, а вот отошел, отодвинулся на полсотни километров - и видишь тот хребет, в котором побывал: во всем своем величии прорезает небо снеговая вершина. Все основные идеи своей последующей тридцатилетней математической деятельности почерпнул я - как воздух - в этом семинаре. И, как воздух, они никому персонально не принадлежали, они витали вокруг всех и не были пойманы в формулировки. Направленность моя на занятие теми геометрическими моделями, которые могут позволить объяснить (эксплицировать) ВРЕМЯ, ТЕОРИЮ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ, КОСМОЛОГИЮ, - это оттуда, из вечного интереса Александрова и Борисова к этим проблемам. Использование аппарата выпуклого анализа с его субдифференциалами предпочтительнее по сравнению с классическим анализом дифференцируемых функций - это оттуда же, из докладов в семинаре и разговоров на улицах Васильевского острова с Бакельманом, Волковым и Решетняком. Пристальное внимание к корректности научных утверждений, умение отличать "доказанное от недоказанного", та щепетильность, которая даже в ситуации, чреватой тяжелыми житейскими невзгодами, заставляет первому указать на ошибку в своих собственных выкладках²⁴⁹, - это и от Залгаллера, и от Александрова, да и от всех. Один лишь Заморзаев был готов сжульничать, замолчать свой промах - но ведь он и не пользовался никаким уважением! Даже многие чисто личные черточки заимствовал я от Данилыча: жест, определенные интонации, ораторская громкость, манеру внимательно слушать и не стесняться перебивать, когда непонятно, неверно, широту и известную театральность реплик.

Но так же, как я не нахожу слов для описания моих с Леной отношений - совершенно целомудренных, впрочем - так же я не нахожу общепонятных, не математических слов, чтобы описать функционирование Семинара, дух Ленинградской геометрической школы²⁵⁰. Ограничусь несколькими штрихами к портрету А.Д.Александрова.

Александров был учеником очень нетривиального геометра - Бориса Николаевича Делоне, двадцатью годами его старшего, деда прославившегося в шестидесятые годы поэта Вадима Делоне. Как и Делоне, Александров занимался альпинизмом и, пожалуй, больше своих математических регалий гордился значком "мастер спорта" по альпинизму. Это нашло отражение в шуточных стихах Заморзаева в честь Данилыча:

 

"Дифгеометрию сдавали

Студенты с грохотом ему:

Кто прыгал выше всех и дале –

Пятерки ставил он тому.

 

Придя к Данилычу, экзамен

Не сдал от ужаса студент:

Стоял Данилыч вверх ногами,

На голове, как градиент."

В свои 30 лет он стал лауреатом Сталинской премии, в 34 года (в 1946 году) - членом-корреспондентом Академии Наук СССР. Так как он не занимался никакой военной тематикой, а то ли его отец, то ли его дед был сенатором в дореволюционном Сенате и чуть ли не начальником какого-то департамента, то эти успехи объяснялись исключительно научными причинами. Он был нетривиален, замечательно импровизировал, старался во всем вникнуть до самой сути, и не успокаивался, пока не возникало в нем искренней убежденности. Как и многие в его поколении, он истово веровал в марксизм, в диалектический материализм особенно. После премии и избрания в АН вступил в ВКП(б). Не был он лишен и приспособительных способностей, но честность мешала ему и в конце концов привела к безнадежному конфликту с ленинградским горкомом или обкомом. Известен случай, когда он ехал на "колбасе" трамвая, его снял милиционер, потребовал документы. Увидав карточку членкора Академии, милиционер козырнул и вернул документы со словами: "Продолжайте эксперимент". У Александрова замечательная память на лица - была сорок лет назад, и сейчас сохранилась. Он помнил - в лицо, хотя фамилии мог и не знать - всякого, с кем хоть раз разговаривал. Как и многие творческие натуры, он плохо помнит то, что сам он произносил в тех или иных обстоятельствах.

И вот он читал обязательный курс "Дифференциальной геометрии" для общего потока всех математиков и механиков курса в IV-V семестрах. Ничего особо выдающегося в содержании не было - мне с тех пор попадались книжки и программы этого курса куда как более насыщенные. Более того, Александров не давал общего и единого аппарата (например, тензорного, как в книгах Кагана), овладевши которым, всякий, даже туповатый, студент решил бы все задачи дифференциальной геометрии. Вообще цельности, завершенности в этом его курсе было маловато. Не случайно за всю свою более чем полувековую математическую деятельность он так и не написал ни одной книги (та, что с Запгаллером - Данилычу не в зачет). Он был мастером этюдов, мгновенных импровизаций. Он учил каждую теорему воспринимать с самого начала, доказывать, словно бы ничего пред тем не зная, с чистого листа. Гениальным озарением. Поэтому к нему и установилось двойственное отношение: одни его терпеть не могли "за пижонство", "за халтуру", "за неподготовленность к лекциям", а другие восхищались его "концепцией конгениальности", "возможностью наблюдать процесс творчества ворчию у доски", нахождением минимальных и красивейших путей мысли. Вот относящиеся к этой черте строки из той же шуточной поэмы:

 

"Служил Данилыч на матмехе,

Вставал не рано поутру,

Читал Данилыч для потехи

Студентам всякую муру.

 

По геометрии Данилыч

Аксиоматику читал.

Студенты слушали, томились,

Да он и сам не понимал."

Да, не редкостью было услышать от этого профессора с кафедры признание в том, что он НЕ ПОНИМАЕТ того или иного факта, имеющего тем не менее место в системе геометрических наук. Меня такое признание словно бы приобщало к миру горнему. Wer von euch kann zugleich lachen und erhoben sein?

По-видимому, моя любовь к Данилычу заразила и Фельдмана, потому что довольно скоро у нас с Яшей зародилась дерзкая идея: записать лекции Александрова и издать записи в издательстве ЛГУ, с тем чтобы книга - по одному экземпляру на каждого студента - успела выйти к экзаменам по дифгеометрии. Так как курс был обязательный, так как далеко не всем слушателям был внятен стиль Данилыча, то перспектива получить готовенький апробированный автором конспект лекций перед экзаменами весьма пришлась по душе студентам, и они согласились помогать в нашей с Фельдманом затее. Небольшое сопротивление со стороны самого Александрова мы легко преодолели заверениями, что ему не придется самому ни о чем хлопотать, нисколько уделять этому времени, ибо всю работу мы берем на себя.

И началась работа. Фельдман авторитетно организовал "общественное дежурство", я взвалил на себя научное редактирование. Это значило, что были полудобровольно избраны несколько человек, наиболее подробно пишущих конспекты за лектором. Два или три раза в неделю их конспекты передавались мне и вместе с моими записями они являлись основой, по которой я диктовал девочке, выделенной мне в этот раз по фельдмановской разнарядке - тут критерием являлись ее почерк, наличие свободного времени, готовность ее работать со мной и фельдмановская напористость - окончательный текст. Этот текст шел в ротапринтную университета. Там его сразу перепечатывали на восковку.

О, эти откровения печатного дела! Ни от какого острова сокровищ и ни от каких пещер Али-Бабы не загорелись бы у меня глаза так, как от входа в помещение ротапринтной, куда и пускали-то по спецпропускам, но куда в силу богатого общественно-партийного авторитета Фельдману удалось войти запросто! В первой комнатке стояла пишущая машинка, в которую заправлялись: на место первого экземпляра ВОСКОВКА (или, когда бывала, ПЛЕНКА), потом копирка, потом бумага под второй экземпляр. Второй экземпляр шел в архив для отчетности. Литеры машинки прорезали дырки на восковке (ленты на этой машинке не было) и получался дырчатый лист. Его несли в соседнюю - совсем как в революционных романах - плохо освещенную комнату, где прикладывали (и сам я не раз священнодействовал) на вал, жирно намазанный фиолетовой типографской краской, прокручивали вал вручную, и из-под того места, где прижимался резиновый валик поменьше, в прорезь стола вываливался листок с отпечатанной страницей. Краски хватало оттисков на 100-150. Ну, конечно, была еще морока с формулами, которые приходилось

 

прорезывать вручную, с чертежами, которые исполнялись отдельно в черном цвете, с переплетом, которого удостоилась примерно половина тиража (у меня сохранился и экземпляр в переплете и непереплетенный). Но, каковы бы ни были хлопоты, трудности и волнения, в конце декабря 1950 года мы с Фельдманом сдержали обещание: раздали по экземпляру на одного или двух слушателей текста лекций А.Д.Александрова "Курс дифференциальной геометрии". Ни разрешения горлита, ни выходных данных - тираж, издательство, подписан к печати тогда-то - ни даже титульного листа на этом издании нет. 160 страниц. Сомневаюсь, чтобы выполнялась обязательная рассылка по библиотекам.

И как это просто, как легко можно изготовить такую же штуку самодельно! Все размеры я записал, составил точнейшие рабочие чертежи, узнал рецепт краски, познакомился с ребятами, сидевшими на снабжении восковкой.

9 марта 1951 года Александр Данилович на моем экземпляре оставил свой автограф:

 

"Тов.Пименов, спасибо большое за работу, хотя она как и все нуждается в усовершенствовании."

 

Сие критическое замечание лишило Александрова такого же экземпляра его лекций по "Основаниям геометрии", который он читал тогда, с VI семестра. Вдохновленные успехом, мы с Фельдманом при полной поддержке основной части курса - хотя и при язвительных насмешках некоторых студентов, вроде Вали Пуниной, люто ненавидевших Александрова - решили издать таким же образом "Основания геометрии". По-прежнему я, усевшись на стол в какой-нибудь аудитории (увы, и сами эти аудитории с тех пор перекраивались, и тело матмеха ныне перенесено в Петергоф) или даже в коридоре, диктовал какой-нибудь девочке текст, отталкиваясь от нескольких базисных конспектов. Но из-за "нуждается в усовершенствовании" мы внесли новое звено в цикл своей производственной деятельности: написанный сегодня текст относился назавтра Данилычу, и только после его правки или без правки, но с его согласия, направлялся в ротапринтную (набор шел, не дожидаясь всего корпуса лекций, постранично). Ну, а автор тянул. У него было множество неотложных дел. Он терял данные ему листы, и приходилось то заново писать уже написанное, то являться к нему домой с угрозой "произвести у него обыск", и тогда он в моем присутствии начинал шарить по закуткам-антресолям и находил рукопись.

Попутно я знакомился с "паразитарными явлениями", нарастающими на всяком живом деле. Одним из писарей была Люда К.[...]²⁵¹, механик. Вообще-то она неохотно исполняла свои писарские обязанности и со мной была знакома лишь шапочно. Но как только стало широко известно, что я близок с Данилычем, что я бываю в его член-корреспондентском доме на Марсовом Поле, она стала рваться писать под мою диктовку, вне всякой очереди. И раза два, когда мы с ней оставались в узенькой комнатке на третьем этаже перед 93-й аудиторией, она недвусмысленно прижималась ко мне, затевала борьбу в обнимку, глаза ее лучились и обещали. Она просила взять меня с собой, когда я пойду к Александру Даниловичу. Мне она была совершенно не нужна, Данилычу она была неизвестна, и я не видел рационального объяснения прихода с нею. Но я не умел отказать - о, эта трудная наука отказывать! - и я взял ее с собою. Во время моего с ним

 

разговора, его поисков, она так же лучилась к нему навстречу. Он как обычно, изображал галантность. На прощанье он одарил нас грушами, кем-то свежими привезенными ему в разгар весны. Я свою сожрал, а Люда сберегла и на следующей лекции Александрова сидела, поставив рядом с собой грушу. Не знаю, как у нее дальше получилось что с Данилычем, ко мне она охладела и больше мы не встречались. По сплетням, она несколько раз разводилась, меняя фамилию, и в конце концов вышла замуж за какого-то членкора. Я же на всю жизнь запомнил те излучения, которые шли от нее, и впоследствии безошибочно распознавал их в других женщинах такого же типа. Это одна из причин того, что никогда грубо не ошибался в выборе женщин до своих пятидесяти лет. Спасибо тебе, Людочка!

Паразитарный нарост мы рассмотрели, а как рос самый ствол? Так как мы добивались совершенства, то мы не только обеспечивали Данилыча готовым проектом, но и отмечали в получившемся тексте сомнительные места, невнятицы, ляпы. Тетрадный двойной лист разворачивался, вдоль своей длинной части делился на две неравные половины: слева - текст, а справа место для наших замечаний и его правки. Вот Александров произносит и мы записываем:

 

"... развилась современная геометрия с ее многочисленными разветвлениями."

 

Этин на полях вопрошает:

 

"Неясно, что значит разветвление. Этин".

 

Александров переделывает:

 

"... развилась современная геометрия со всем многообразием ее теорий",

 

вспоминая, возможно, свою встречу с Этиным на экзамене по дифгеометрии. Этин совершенно ничего не знал. Берет билет, ответить не может ни на один вопрос. Александров предлагает другой - с тем же результатом. Александров предлагает ему самому выбрать какую-либо тему и рассказать - Этин беспомощен. Тогда Данилыч предлагает ему самому сформулировать три вопроса из дифференциальной геометрии - только сформулировать, не отвечая на них. И Этин прекрасно, четко и глубоко находит три вопроса. А математики знают, да и сам Данилыч не раз повторял, что для решения задачи достаточно уметь правильно сформулировать вопрос. Поэтому, увидав, как точно ставит вопросы Этин, Александров заключил, что ум у того развит, отточен, а случайность, что он не раскрывал учебника, носит побочный характер. И поставил пятерку. Совсем иначе относился он к девочкам, которые не знали, кто жил раньше: Пифагор или Декарт. Или вот в авторском тексте написано:

 

"Важно усвоить, что такое аксиоматическое построение теории. Для понимания этого полезно взять какую-либо теорему геометрии и разобрать, какие аксиомы в ней используются."

 

На полях:

 

"Считаю, что это нужно выбросить. Соломяк, Присоединяюсь. Этин"

 

И членкор выкидывает вторую фразу. Вот переписка подлиннее:

 

"На самом деле они придерживаются идеалистических взглядов. Например, в одном американском учебнике элементарной геометрии утверждается как само собой разумеющееся следующее: "Анализируя пространство, мы анализируем нашу способность воспринимать данные опыта." Таким образом, пространство оказывается нашей способностью воспринимать данные опыта, а не объективной реальностью."

 

На полях:

 

"Мы считаем этот вывод логически несостоятельным. Этин. Соломяк. Пименов. Буров. Из утверждения: "Анализируя А, мы анализируем Б" не вытекает, что А есть Б."

 

Александров раздраженно перечеркивает наше замечание с ремаркой:

 

"Четыре умника" подписываются под идеализмом".

 

В ответ настойчивое:

 

"Из того, что мы считаем этот вывод неубедительным и неправильным (это вписано мною поверх зачеркнутого соломячьего "логически несостоятельным"), вовсе не следует, что тем самым мы - четыре "умника" - подписываемся под идеализмом. Обвинение основано на точно такой ошибке, которую "умники" отметили выше."

 

Александров переделывает свою формулировку, и после вычеркнутых им слов "таким образом" в последней фразе текста теперь написано:

 

"Пространство определяется здесь как субъективная форма нашего восприятия, а не как объективная форма существования материи."

 

На его пассаж:

 

"Развитие, как следует из четвертой черты диалектического метода, имеет своим источником борьбу противоположностей, присущих самому предмету. В конце нашего курса мы убедимся в справедливости этого положения для геометрии"

 

На полях написано:

 

"Необходимо конкретно указать, какие противоречия борются в геометрии. Пименов."

 

Он молча перечеркивает, примеров не приводит. В тексте:

 

"Пространство есть возможность неограниченного прилегания друг к другу."

 

На полях:

 

"Считаю нужным либо развить эту фразу, либо выкинуть фразу. Пименов. Пространство не есть возможность, а одним из его свойств является возможность

 

неограниченного прилегания тел друг другу и неограниченного дробления каждого тела. Утверждают, что это есть мысль Эйнштейна. Справедливо ли это?"

 

Он молча выкидывает свою фразу. Постепенно все комментаторы отсеиваются, остаюсь один я, все чаще вставляю в его текст уже чисто математические кусочки, пока еще почерпнутые из "Историко-математических исследований", где как раз в те годы Г.А.Розенфельд помещал статьи об Омаре Хайяме и смежных геометрах. Как правило, Данилыч их приемлет благожелательно. Вот он пишет:

 

"Строгое построение геометрии невозможно, если опираться на наглядные представления."

 

Я возражаю:

 

"Александр Данилович! А разве, излагая аксиоматику, Вы не рисуете чертежей, разве Вы не опираетесь на наглядные представления, разве Вы чисто логически последовательно строите геометрию?"

 

Он меняет формулировку:

 

"В геометрии можно и должно опираться на наглядные представления, но нельзя строгость вывода основывать на наглядных представлениях; строгость должна устанавливаться уже в отвлечении от этих представлений."

 

Скакнув воспоминаниями, похвалюсь, что самое хорошее определение геометрии дал я в 1982 году в Новосибирске, прервав Александрова, который в очередной раз излагал свою статью "Геометрия" для БСЭ на этот раз В.А.Рыжику. Вот оно:

 

"Геометрия есть очень длинная дедуктивная теория, которая на каждом своем куске допускает содержательную наглядную интерпретацию".

 

Надеюсь, что в "Математическую энциклопедию" XXII века войдет именно это определение. Подчеркну - как я это подчеркнул Рыжику - что ни одного слова из моего определения выбросить нельзя, ибо тогда результат дефинирования не будет однозначным.

Понятно, что при такой улучшательской деятельности мы не успели завершить текст ко времени сессии, после чего издание лекций сделалось совершенно неактуальным, Фельдман перестал им заниматься, а без него входа в ротапринтную не было. Александров же в этом смысле всегда был безруким и бестолковым, даром что тогда как раз становился ректором. Он никогда не знал, какая бумажка нужна для какой формальности. Из-за этого он в 1976 году сорвал Всесоюзный симпозиум по хроногеометрии, на который уже повсюду приглашения были разосланы²⁵². В итоге у меня

 

осталась рукопись из десятка с лишним почерков, среди которых к концу преобладают мой и александровский. Вот ее оглавление:

 

"Предисловие²⁵³ ....................................................................................... 1

Гл.I. СУЩНОСТЬ ГЕОМЕТРИИ .............................................................11

§1. Первоначальный предмет геометрии ............................................ 11

§2. Развитие геометрии в первоначальном ее смысле...................... 21

§3. Развитие геометрии.............................................................................30

§4. Лобачевский.......................................................................................... 41

§5. Развитие геометрии после Лобачевского ...................................... 52

§6. Обобщение предмета геометрии ..................................................... 61

Гл.II. АКСИОМАТИКА ЭВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ..................... 76

§1. Общие замечания ................................................................................ 76

§2. Аксиомы сочетания.............................................................................87

§3. Аксиомы порядка ................................................................................. 99

§4. Аксиомы движения................................................................................127

§5. Учение о равенстве..................................................................................143

§6. Аксиома непрерывности ........................................................................ 168

§7. Общее учение о величине ...................................................................... 177

§8. Аксиома о параллельных и абсолютная геометрия..........................193

§9. Координаты................................................................................................. 207

Гл.III. АНАЛИЗ АКСИОМАТИКИ ЭВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ .....211

§1. Непротиворечивость................................................................................. 215

§2. Полнота ........................................................................................................ 231

§3. Независимость ...........................................................................................242

Гл.ГУ. ОБОБЩЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ............................................................. 263

§ 1. Теоретико-групповая точка зрения на геометрию ...........................263

§2. 14-мерное эвклидово пространство........................................................273

§3. Проектная геометрия .................................................................................. 284

§4. Преобразования, сохраняющие прямые ...............................................291"

 

Всего 304 листа. Специалист сразу увидит, как резко отличается этот курс оснований геометрии от современных, пропитанных бурбакистским взглядом на структуру математики. В основаниях геометрии - ни слова о математической логике. Зато очень много истории.

Побочным следствием этих своеобразных отношений между мной и член-корреспондентом оказалось, что я - единственный из его учеников, кому было позволено резко с ним не соглашаться, говорить ему прямо неприятные вещи. Как гораздо позже выразился Бакельман:

- Единственный человек, которому позволено говорить гадости в лицо Данилычу - это Револьт. (Слово "гадость" в жаргоне ленинградских геометров означает логически неопровержимое или трудно опровержимое утверждение, которое противоречит намерениям и догадкам автора.)

У Данилыча я выполнял курсовую работу за II курс - "Двадцать пять различных определений кривизны" пространственной кривой. У него же занимался "аксиоматикой движения фигур в эвклидовом пространстве", что

 

в конечном счете сделалось моей дипломной работой, потому что предполагавшаяся дипломная по моим результатам в теории сверхкривых оказалась липовой. Для нужд этой аксиоматики я проштудировал книгу Шура на немецком языке, и мое достижение сравнительно с Шуром состояло в том, что мне хватило не преобразований всего пространства на себя, а преобразований конечных областей пространства на конечные же области ("фигуры", как старомодно выражались мы с Данилычем).

У него же весной 1952 года я сдавал экзамен по факультативному курсу "Геометрия Лобачевского". Сдавали мы трое - я, Этин и Света Богачева. Я - в пику Данилычу - за основу принял изложение этой геометрии по В.Ф.Кагану, которые, к слову сказать, я и сейчас считаю необходимейшим для развития геометрической интуиции в неэвклидовых мирах. Данилыч был дико занят и в конце концов местом сдачи экзамена назначил свой ректорский кабинет, в который он с полгода как въехал. Мы пришли, он дал нам вопросы и велел выйти, готовиться, пока у него какое-то совещание. Мы вышли, примостились было в приемной, но там тесно, все ходят, приходится все время старшим уступать место на диване, секретарша волком смотрит. Так что мы махнули рукой и махнули на набережную, спустились к самой воде, и там на ступеньках я стал готовить Этина и Свету к ответам на их вопросы. Чудесное весеннее солнце. Переливы его по невской ряби. Безветрие. Молодость. Сознание полного владения материалом. Сладчайшее воспоминание - эта сцена, а как ее описать? Кто умеет хотя бы гранит этого спуска выразить словами? А ту вечную плесень на площадке, что вровень с водою? Часа через четыре он нас принял. Мне для ответа нужно было нарисовать окружность в каком-то месте. Ну, я, недолго думая, окинул взором кабинет, циркуля не увидел, но узрел нечто круглое - крышка от чернильницы - перегнулся через стол, схватил ее, поставил на бумагу и обвел окружность. Боковым зрением углядел священный ужас на физиономии Данилыча, мгновенно понял, что кощунствую, внимательнее взглянул на крышку и столь же моментально прочел на ней надпись - от Оксфордского университета университету ленинградскому, 1952. Оказывается, эту золотую чернильницу только что подарил Оксфорд Александрову, она была еще свежей реликвией, а я-то варвар! Точно таким же варваром и дикарем предстал я перед Светой незадолго до того. Был я у нее в доме. Понадобилось достать что-то сверху. Встал на стол - не достаю. (Она же ростом ниже меня.) Зырк глазом, беру толстенную книгу-фолиант, подкладываю, становлюсь на нее и достаю. Вот тут она и посмотрела на меня тем самым взглядом, так же молча, как Данилыч в кабинете! К слову, все это происходило ПОСЛЕ выпада Светы против меня на комсомольском собрании, описанном в §5 гл.1, - я зла на людей не держал. Перчатки после этого я стал снимать.

Не только у Александрова занимался я в те годы. В семинаре Николая Александровича Сапогова я делал доклад о колмогоровской аксиоматике теории вероятностей. Этот доклад превратился в мою курсовую работу за III курс. Сапогов очень хотел заполучить меня к себе, очень сманивал. Почему-то он был высокого обо мне мнения. Подозреваю, что потом именно от него это мнение передалось его бывшей жене Ольге Александровне Ладыженской, с которой тогда я не был знаком. У меня же, наоборот, от разбора аксиоматики Колмогорова сложилось мнение, что теория вероятностей не наука, раз такая примитивная аксиоматика полагается в этой науке вершиной математической мысли. Столько шуму об этой аксиоматике, так меня предупреждали, будто она трудна для понимания - а ничего в ней нет ни трудного, ни интересного, ни

 

содержательного. И всю жизнь потом я к писаниям А.Н.Колмогорова относился скептически, презрительно²⁵⁴.

Примерно в районе третьего-четвертого курса задумался я над функциями, промежуточными между синусом обыкновенным и синусом гиперболическим. И другими таким же промежуточными тригонометрическими функциями. Они нужны были мне для единообразной записи лобачевской, эвклидовой и эллиптической тригонометрии. Причем они должны были бы описываться как ОДНА функция, в зависимости от некоторого параметра е, которому разрешалось принимать значения единица, минус единица и ноль. Писал я их з е п, отчего все кругом и говорили про "пименовские сэнусы". Дуальные числа я тогда еще не изобрел, а то бы хлопот не возникло. Долго кропал я, находил соотношения, а потом набрался духу посоветоваться с Григорием Михайловичем. Для этой цели отправился я на его лекцию для первокурсников, залез в задний ряд, высидел всю лекцию, а потом в перерыв подошел к нему с вопросом. По существу, Фихтенгольц быстро понял, чем я занят, отослал меня к функциональному уравнению Коши (лет за сто до моего рождения), точно назвавши выходные данные²⁵⁵, но очень изумился такому способу контакта с ним: не надо мне было отсиживать лекцию с первокурсниками, можно было и на кафедру зайти, и даже домой позвонить ему...

Несколько слов о Григории Михайловиче. Я никогда не был сколько-нибудь близок к нему: во-первых, он внушал благоговение, которое не позволяло приблизиться. Не случайно "Гимн матмеха" пел:

"Пришел Фихтенгольц, бородой покачал,

И слезы у многих сверкнули."

Во-вторых, анализ меня совершенно не привлекал. Но лекции его были шедевром математической педагогики, а два его рассуждения глубоко запали в мое сознание и помогли в собственной деятельности. Первое:

— Математик должен быть лентяем. Он никогда не должен спешить приниматься за деятельность. Вот, например, на необитаемый остров сослали математики и нематематика, сказали, что если за год составит таблицу логарифмов до пятого знака, то через год корабль его подберет, а не составит - навсегда останется там. Ну, все нужное для работы - бумагу, пишущие принадлежности, учебники математики - оставили. Так вот, нематематик сразу начнет вычислять, лишь бы поскорее. Протрудится весь год, и конечно, не успеет и наврет. А математик полгода будет лежать загорать на песке и прикидывать: как короче и без лишней писанины посчитать эти проклятые логарифмы? А потом за неделю все напишет. Так что математик просто обязан быть лентяем, иначе он нарушает свою сущность.

Второе, которого я не помню дословно, состояло в указании на ПРИНЦИП ПЕРМАНЕНТНОСТИ, которым обязан руководствоваться всякий,

 

создающий новую математическую теорию и которым, фактически, в истории развития математики сознательно или бессознательно всегда руководствовались. Старая теория должна не отвергаться, а занимать свой уголок в новой, обобщенной. Уголок, в котором она сохраняется верной при специальном наборе параметров. Позже мне довелось читать писания Б.Г.Кузнецова, именовавшего этот принцип "принципом соответствия", и контраст с четкостью формулировки Фихтенгольца и словоблудием Кузнецова был разителен.

Я тогда по патологической скромности и низком о себе мнении полагал, что никто меня не замечает, не видит. Я не представлял, что лектор сразу же идентифицировал меня, чужого на этом курсе, даже вспомнил, как я сдавал ему экзамены, возможно, даже припомнил, что еще слышал обо мне в деканате. Я думал, будто бы я никому не заметен, особенно, если съежусь, пригнусь. Говоря физическим языком, я воспринимал себя как ПРОБНОЕ ТЕЛО в некотором ПОЛЕ, т.е. такое тело, которое само не оказывает никакого воздействия на самое поле, на движение других частиц в этом поле. И мне понадобилось много разнообразного опыта, дабы постичь, что я МАССИВНОЕ ТЕЛО в окружающем меня поле!

Вот другой пример моего непонимания того, что меня ВИДЯТ. Сильно я в ту пору интересовался теорией относительности, а никто ее на матмехе не читал ни в обязательных курсах, ни в факультативных. Последнее, что я на эту тему видел опубликованным - "Механика" Хайкина 1948 года, еще в школе листал. Тогда же в школе или на год раньше я прочел Эддингтона "О природе физического мира" или "Кванты и относительность", не упомню, титульный лист был оторван, 1931 года перевода. Оттуда и тяга, но университет ничего не давал. Прослышал я от Володи Фролова, что им, астрономам, их преподавательница физики будет две или три лекции излагать теорию относительности; пошел слушать. Не спросился у нее, думал, что меня не заметят - а всего-то слушателей человек пятнадцать астрономов! Даже когда она любезно так улыбнулась: "У нас сегодня гости", - я тупо смотрел на нее и ничего, кроме придурковатой улыбки, не сумел родить. Добро, Фролов спас положение. Это ощущение своей незаметности сродни тому, как дачник, снимающий комнату у хозяев, имеющих сад, тайком срывает яблоки или мандарины в саду, пока хозяева спят и не видят его. Он думает, что они "не заметят", а им ведь и не нужно замечать, когда он срывает. Они от завязи знают все свои плоды, знают, какие окажутся червивыми, а какие не дозреют. Исчезновение плода говорит само за себя, но горожанин-дачник о такой своей "заметности" не помышляет.

В связи с теорией относительности же, для понимания которой нужен тензорный аппарат, мы с Тасей Тушкиной - к тому времени определенно специализировавшейся на алгебре - буквально силком вырвали у Дмитрия Константиновича Фаддеева согласие прочесть курс тензорного исчисления. Собственно, он изложил только тензорную алгебру, причем никто из нас ничего не понял. Нынче мне кажется непостижимым, почему такой простой и естественный подход к тензорам как к полилинейным функциями показался нам совершенно непонятным, ничего не дающим. Тут и не в отвратительной дикции Д.К.Фаддеева дело, хотя она тоже мешала, конечно, воспринимать. Нет, просто стиль и уровень тогдашнего образования на матмехе не готовили к такому абстрактному общему пониманию тензоров.

 

Пробовали мы с Фельдманом добиться от преподавателей матмеха каких-нибудь обзорных курсов, которые помогли бы разобраться в архитектонике математики. Дабы видны стали взаимосвязи между результатами, получаемыми в РАЗНЫХ ее дисциплинах. Набросал я даже "программу", следуя которой надлежало организовать профессоров таких-то для освещения таких-то углов математического здания. Фельдман очень загорелся, но энтузиастов среди профессуры не нашлось. В то время еще только Бурбаки во Франции владели таким общим планом страны Матемаландия, а до Васильевского Острова зарисовки этой карты еще не доплыли. Так наша суета и не родила ничего, но отразилась косвенно в Отзыве о курсе Ф.П.Отрадных (см. §5 ниже).